Schémas combinés volumes Finis/éléments finis pour des écoulements en milieu poreux
Résumé. Dans ce cours, on s'intéresse d'abord à la modélisation
des écoulements diphasiques (eau/gaz) pour la simulation de la
récupération secondaire du pétrole. Ce type de modèles donne lieu
à un système parabolique--elliptique pour la saturation et la
pression. Ensuite, on s'attache à la résolution numérique d'une
équation de diffusion-convection dans un milieu anisotrope. Dans le
cas des tenseurs de diffusion réduits à une matrice d'identité
(milieu homogène), on introduit le schéma de volumes finis TPFA (Two
Points Flux Approximation) discrétisant cette équation sur des
maillages vérifiant la condition d'orthogonalité. Toutefois, les
volumes finis classiques ne permettent pas de gérer la diffusion
anisotrope sur des maillages généraux où la consistance des flux
diffusifs n'est plus assurée. En revanche, il est bien connu que les
éléments finis permettent une discrétisation très simple des flux
diffusifs avec des tenseurs pleins sans imposer de restriction sur le
maillage, mais de nombreuses instabilités numériques peuvent
survenir dans le cas d'une convection dominante.
L'objet de ce cours est d'exposer et d'analyser plusieurs méthodes
combinées comme la méthode CVFE (Control Volume Finite Element
method), DDFV ...